Гамма-функция

---

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру^[1].

Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента и расширения понятия производной на дробные значения.

Если вещественная часть комплексного числа ${\displaystyle z}$ положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

через замену переменной ${\displaystyle x=e^{-t}}$, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$.

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства ${\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z}$ и замены переменной ${\displaystyle x=y^{2}}$:

Интеграл в этой формуле сходится при ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1}$, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента ${\displaystyle z>0}$ подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при ${\displaystyle y=0}$, и если доопределить её в этой точке значением ${\displaystyle 0}$, она станет непрерывной на всём отрезке ${\displaystyle [0;1]}$. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

---