Биномиальный коэффициент

---

Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ по степеням ${\displaystyle x}$. Коэффициент при ${\displaystyle x^{k}}$ обозначается ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ или ${\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}}$ и читается «биномиальный коэффициент из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$» (или «число сочетаний из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$»):

Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных показателей ${\displaystyle n}$. В случае произвольного действительного числа ${\displaystyle n}$ биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ в бесконечный степенной ряд:

где в случае неотрицательных целых ${\displaystyle n}$ все коэффициенты ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ при ${\displaystyle k>n}$ обращаются в нуль и поэтому данное разложение является конечной суммой.

---