Вариация функционала

---

Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа^[1]. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену ${\displaystyle x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)}$ и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости ${\displaystyle L}$ имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

где остаточный член ${\displaystyle |r(x,\;x_{1})|\to 0}$ — расстояние между функциями и ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$, а ${\displaystyle \delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)}$. При этом линейный функционал ${\displaystyle J_{1}(\delta x)}$ называется (первой) вариацией функционала ${\displaystyle J(x)}$ и обозначают через ${\displaystyle \delta J}$.

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем ${\displaystyle |r(\delta x)|}$:

---