Контравариантный вектор

---

Контравариа́нтным ве́ктором обычно называют совокупность (столбец) координат вектора в обычном базисе (то есть его контравариантных координат) или 1-формы в том же базисе, не являющимся, правда, для неё естественным. Контравариантный вектор в дифференциальной геометрии и смежных с ней физических концепциях — это вектор касательного пространства.

Контравариантные координаты принято записывать с верхним индексом, а также — в матричной записи — в виде вектора-столбца (в отличие от записи с нижним индексом и вектора-строки для ковариантных координат и соответственно «ковариантного вектора»).

Образец контравариантного вектора — это вектор смещения, записанный в виде набора приращений координат: ${\displaystyle \ dx^{i}}$.

Любой набор чисел, преобразующийся при любой замене координат так же, как ${\displaystyle \ dx^{i}}$ (новый набор через ту же матрицу выражаются через старый), представляет контравариантный вектор.

Следует заметить, что, если определен невырожденный метрический тензор, то «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или 1-формы. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать об 1-форме. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрикой:

---