Гамильтониа́н ( или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.
Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.
Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если — состояние системы в момент времени t, то
Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то
Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.
Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой: