Уравнение Гамильтона — Якоби

---

Здесь ${\displaystyle S}$ обозначает классическое действие, ${\displaystyle H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)}$ — классический гамильтониан, ${\displaystyle q_{i}}$ — обобщённые координаты.

Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, оно представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы ${\displaystyle s}$, в отличие от ${\displaystyle 2s}$ уравнений Гамильтона и ${\displaystyle s}$ уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции ${\displaystyle S(q,p',t)}$ (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для ${\displaystyle H(q,p,t)}$ и ${\displaystyle H'(q',p',t)}$ при следующем преобразовании:

---