Гауссова кривизна

---

Гауссова кривизна — мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, то есть она не изменяется при изометрических изгибаниях.

Обозначим нормальные кривизны в главных направлениях (главные кривизны) в рассматриваемой точке поверхности ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$. Величина:

называется гауссовой кривизной, полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны, который подразумевает результат свёртки тензора кривизны; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику поверхности, и поэтому она является объектом внутренней геометрии (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна ${\displaystyle {\frac {1}{R^{2}}}}$. Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера.

Кривизна n-мерной гиперповерхности в точке полностью описывается её главными кривизнами ${\displaystyle k^{(1)},k^{(2)},\dots ,k^{(n)}}$ и соответствующими главными направлениями.

Назовем вышеприведенные величины кривизнами Гаусса соответствующей степени. Общая формула кривизны Гаусса степени m запишется так:

---