Гиперболические уравнения

---

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Рассмотрим общий вид скалярного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$:

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

где ${\displaystyle A=A^{T}}$.
Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна ${\displaystyle (n-1,1)}$, то есть матрица ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n-1}$ положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: ${\displaystyle n-1}$ отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу^[1].

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

где ${\displaystyle L}$ — положительно определённый эллиптический оператор, ${\displaystyle a\neq 0}$.

---