В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется
где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.
Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент eG группы G в нейтральный элемент eH группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что
В более ранних работах h(x) могло обозначаться как xh, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.
В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.
Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.