Прямое произведение

---

Прямо́е, или дека́ртово произведе́ние двух непустых множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» (в честь Рене Декарта) произведение двух множеств ввёл Георг Кантор^[1][2].

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и так далее), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Пусть даны два множества ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Прямое произведение множества ${\displaystyle X}$ и множества ${\displaystyle Y}$ есть такое множество ${\displaystyle X\times Y}$, элементами которого являются упорядоченные пары ${\displaystyle (x,y)}$ для всевозможных ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle y\in Y}$. Упорядоченную пару, образованную из элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, принято записывать, используя круглые скобки: ${\displaystyle (a,b)}$. Элемент ${\displaystyle a}$ называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент ${\displaystyle b}$ – второй координатой (компонентой) пары.

Прямое произведение двух множеств наглядно можно представить в виде таблицы, строки которой определяют элементы первого множества, а столбцы, соответственно, второго. Все клетки данной таблицы в таком случае будут элементами декартова произведения.

Слово «упорядоченная» значит, что для ${\displaystyle x\neq y}$, ${\displaystyle (x,y)\neq (y,x)}$. Так, пары ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ равны в том и только том случае, если ${\displaystyle a=c}$ и ${\displaystyle b=d}$.

---