Дискретное косинусное преобразование

---

Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.

Данное преобразование является линейным, поэтому его результат можно вычислить при помощи умножения матрицы преобразования и вектора. Матрица ДКП является ортогональной (обратная матрица равна транспонированной), поэтому обратное преобразование вычисляется с помощью умножения транспонированной матрицы ДКП на вектор. На практике используется вариант ДКП с матрицей, пропорциональной ортогональной (получающейся из ортогональной умножением на константу).

Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:

Именно ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2}$ чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».

${\displaystyle \mathrm {DCT} }$ для вектора из 8 чисел часто называют ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$. Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$ сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.

Существуют алгоритмы быстрого ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$-преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$ и других вариантов ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$ с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.

---