Дифференциальное исчисление

---

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики, положив начало теории рядов, теории дифференциальных уравнений и многому другому. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики и расширили применение математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции при малых изменениях. Точнее, дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Основу этого аппарата составляют центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.

Пусть функция ${\displaystyle g(h)}$ определена в окрестности ${\displaystyle h=0}$ и для любого ${\displaystyle \epsilon }$ > 0 найдётся такое ${\displaystyle \delta }$, что

тогда говорят, что ${\displaystyle g(h)}$ — бесконечно малое порядка ${\displaystyle o(h^{n})}$.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — вещественнозначная функция, заданная на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, если

---