Евклидово кольцо

---

Евклидово кольцо — область целостности ${\displaystyle R}$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) ${\displaystyle d\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} _{0}}$, такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых ${\displaystyle a,b\in R,\,b\neq 0}$ имеется представление ${\displaystyle a=bq+r}$, для которого ${\displaystyle d(r)<d(b)}$ или ${\displaystyle r=0}$^[1].

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: ${\displaystyle d(a)\leqslant d(ab)}$ для любых ненулевых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ из кольца ${\displaystyle R}$. Если на ${\displaystyle R}$ задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для ${\displaystyle x\in R}$ и ${\displaystyle d'(b)=d(bx)}$ делится ${\displaystyle ax}$ на ${\displaystyle bx}$ с остатком: ${\displaystyle ax=bxq'+r'x}$, где ${\displaystyle r'=a-bq'}$ и ${\displaystyle d(r'x)<d(bx)=d'(b)}$, а так как из определения следует ${\displaystyle d'(r')\leqslant d(r'x)}$, получается искомое представление ${\displaystyle a=bq'+r'}$ с ${\displaystyle d'(r')<d'(b)}$).

---