Норма (математика)

---

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Норма в векторном пространстве ${\displaystyle V\ }$ над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R_{+}} }$, обладающий следующими свойствами:

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.

${\displaystyle \forall x\in V,p(x)\geqslant 0}$.

Действительно, из третьего свойства следует: ${\displaystyle p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0}$, а из свойства 2 — ${\displaystyle \forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)}$.

Чаще всего норму обозначают в виде: ${\displaystyle \|\cdot \|}$. В частности, ${\displaystyle \|x\|}$ — это норма элемента ${\displaystyle x}$ векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

---