Нормированное пространство

---

Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой; один из основных объектов изучения функционального анализа.

Более точно: нормированным пространством называется пара ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ из векторного пространства ${\displaystyle X}$ над полем действительных или комплексных чисел и отображения ${\displaystyle \|\cdot \|\colon X\to \mathbb {R} }$ таких, что выполняются следующие свойства для любых ${\displaystyle x,y\in X}$ и скаляра ${\displaystyle \lambda }$^[1]:

Норма является естественным обобщением понятия длины вектора в евклидовом пространстве, таким образом, нормированные пространства — векторные пространства, оснащённые возможностью определения длины вектора.

Полунормированным пространством называется пара ${\displaystyle \left(X,p\right)}$, где ${\displaystyle X}$ — векторное пространство, а ${\displaystyle p}$ — полунорма в ${\displaystyle X}$.

В нормированном пространстве функция ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ определяет (индуцирует) метрику. Определённая таким образом метрика, в дополнение к обычным свойствам метрики, обладает также следующими свойствами:

Если пространство ${\displaystyle X}$ по индуцированной метрике является полным, то нормированное пространство по определению является банаховым. Не всякое нормированное пространство является банаховым, но любое нормированное пространство обладает пополнением до банахова.

---