Задача трёх тел

---

Задача трёх тел — это задача классической механики об определении движения трёх точечных масс из начальных положений и скоростей (или импульсов) в соответствии с законами движения Ньютона и законом всемирного тяготения Ньютона^[1]. Она является частным случаем гравитационной задачи n тел. В отличие от задачи двух тел, общего решения в замкнутой форме не существует^[1], поскольку результирующая динамическая система проявляет хаотичные свойства для большинства начальных условий^[en], и обычно требуется использовать численные методы для её приближённого решения. Эту задачу можно сформулировать используя как методы механики Ньютона, так и альтернативно в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и других. Упрощённые формулировки задачи трёх тел позволяют найти множество периодических решений. Например, «ограниченная задача трёх тел», когда момент импульса системы равен нулю, позволяет использовать регуляризирующий параметр для описания движения. Также практический интерес представляет «круговая ограниченная задача трёх тел», в которой два массивных тела движется по окружности, а третье — в создаваемом ими потенциале.

В 1912 году финский математик Карл Зундман показал, что существует общее аналитическое решение задачи в виде рядов, однако использование последних практически невозможно.

Исторически сложилось так, что первой конкретной задачей трёх тел, получившей расширенное изучение, была проблема, связанная с взаимным движением Луны, Земли и Солнца^[2]. На современном языке задача трёх тел — это любая задача классической или квантовой механики, моделирующая движение трёх частиц в потенциале специального вида: в виде обратного квадрата, линейного, квадратичного, их комбинаций и других.

Математическая постановка задачи трёх тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения для радиус-векторов центров масс гравитационно взаимодествующих тел в галилеевской системе координат^[3]. Движение ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$ с массами ${\displaystyle m_{i}}$ описывается совокупностью девяти дифференциальных уравнений второго порядка

где ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle t}$ — абсолютное время^[4][5].

---