Аналитическое решение (англ. closed-form expression выражение в замкнутой форме)— математическое выражение с конечным числом стандартных операций.
Решения любого квадратного уравнения с комплексными коэффициентами могут быть выражены аналитически через сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня, каждое из которых является элементарной функцией. Например, квадратное уравнение
поддается обработке, поскольку ее решения могут быть выражены аналитически, то есть в терминах элементарных функций:
Точно так же решения уравнений кубической и четвертой степени (третьей и четвертой степени) могут быть выражены с помощью арифметики, квадратных корней и корней n -й степени. Однако существуют уравнения пятой степени без аналитических решений, например x5 − x + 1 = 0 ; это теорема Абеля-Руффини.
Изучение существования замкнутых форм у корней многочленов является исходной мотивацией и одним из главных достижений области математики, получившей название теории Галуа.
Изменение определения «хорошо известного» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены аналитически, если только не считать хорошо известными специальные функции, такие как функция ошибки или гамма-функция. Уравнение пятой степени можно решить, если включить общие гипергеометрические функции, хотя решение слишком сложно алгебраически, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.