Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах[1].
Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:
Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.
Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.
Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение имеет корень .
Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.