Метод Ньютона

---

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Чтобы численно решить уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ методом простой итерации, его необходимо привести к эквивалентному уравнению: ${\displaystyle x=\varphi (x)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения ${\displaystyle x^{*}}$ должно выполняться условие ${\displaystyle \varphi '(x^{*})=0}$. Решение данного уравнения ищут в виде ${\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)}$, тогда:

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ и что заданная функция непрерывна ${\displaystyle (f(x^{*})\approx f({\tilde {x}})=0)}$, окончательная формула для ${\displaystyle \alpha (x)}$ такова:

С учётом этого функция ${\displaystyle \varphi (x)}$ определяется:

Пусть дана функция вещественного переменного дважды непрерывно дифференцируемая в своей области определения, производная которой нигде не обращается в нуль:

---