Метод простой итерации

---

Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений^[1]. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичный метод итерации.

Идея метода простой итерации состоит в том, чтобы уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ привести к эквивалентному уравнению

так, чтобы отображение ${\displaystyle \varphi (x)}$ было сжимающим. Если это удаётся, то последовательность итераций ${\displaystyle x_{i+1}=\varphi (x_{i})}$ сходится. Такое преобразование можно делать разными способами. В частности, сохраняет корни уравнение вида

если ${\displaystyle {\lambda }(x)\neq 0}$ на исследуемом отрезке. Оптимальным выбором является ${\displaystyle \lambda (x)={\frac {1}{f'(x)}}}$, что приводит к методу Ньютона, который является быстрым, но требует вычисления производной. Если в качестве ${\displaystyle \lambda (x)}$ выбрать константу того же знака, что и производная в окрестности корня, то мы получаем простейший метод итерации.

---