Основная теорема алгебры

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся доказательства привлекают неалгебраические концепции вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений.

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция $1/p(z)$ , где $p(z)$ — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен $p(z)$ имеет хотя бы один корень.

Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени $n$ над полем комплексных чисел имеет в нём ровно $n$ корней, с учётом их кратности.