Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

---

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях:если целая функция ${\displaystyle f(z)}$ комплексных переменных ${\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$ ограничена, то есть

то ${\displaystyle f(z)}$ есть константа.

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая ${\displaystyle n=1}$. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.

Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$, ${\displaystyle z\in {\mathbb {C} }}$, ограничена на комплексной плоскости, то есть

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной ${\displaystyle f(z)}$:

где ${\displaystyle C_{R}}$ — окружность радиуса ${\displaystyle R}$, содержащая точку ${\displaystyle z}$, или ${\displaystyle |\xi -z|=R}$.

---