Непрерывность множества действительных чисел

---

Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, которым не обладает множество рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел^[1]. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы^[2].

При аксиоматическом построении теории действительного числа в число аксиом непременно включается следующее утверждение или эквивалентное ему^[3]:

Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$, такие что для любых двух элементов ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ выполняется неравенство ${\displaystyle a\leqslant b}$, существует такое действительное число ${\displaystyle \xi }$, что для всех ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ имеет место соотношение

Геометрически (если трактовать действительные числа как точки на прямой), если множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ${\displaystyle \xi }$, разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов ${\displaystyle A}$ (кроме, возможно, самого ${\displaystyle \xi }$) и левее всех элементов ${\displaystyle B}$ (та же оговорка).

---