Тета-функция

---

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля^[1].

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими^[англ.]. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения^[англ.] понижения^[англ.].

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от 2 комплексных переменных z и ${\displaystyle \tau }$, где z может быть любым комплексным числом, а ${\displaystyle \tau }$ ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

где ${\displaystyle q=\exp(\pi {i}\tau )}$ и ${\displaystyle \eta =\exp(2\pi {i}z)}$. Функция является формой Якоби^[англ.]. Если фиксировать ${\displaystyle \tau }$, функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода ${\displaystyle \tau }$ и удовлетворяет функциональному уравнению

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

---