Внешняя алгебра

---

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством ${\displaystyle V}$ обычно обозначается ${\displaystyle \bigwedge V}$. Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Внешней алгеброй ${\displaystyle \bigwedge V}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры ${\displaystyle T(V)}$ по двустороннему идеалу ${\displaystyle I}$, порождённому элементами вида ${\displaystyle x\otimes x,x\in V}$:

Если характеристика поля ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$, то идеал ${\displaystyle I}$ в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида ${\displaystyle x\otimes y+y\otimes x}$.

Умножение ∧ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

k-й внешней степенью пространства ${\displaystyle V}$ называют векторное пространство ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}$, порождённое элементами вида

---