Дифференциальная форма

---

Дифференциа́льная фо́рма порядка ${\displaystyle k}$, или ${\displaystyle k}$-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа ${\displaystyle (0,k)}$ на многообразии.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство ${\displaystyle k}$-форм на многообразии ${\displaystyle M}$ обычно обозначают ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$.

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени ${\displaystyle k}$, или просто ${\displaystyle k}$-форма, — это гладкое сечение ${\displaystyle \wedge ^{k}T^{*}M}$, то есть ${\displaystyle k}$-й внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

${\displaystyle k}$-формой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ будем называть выражение следующего вида

где ${\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ — гладкие функции, ${\displaystyle dx^{i}}$ — дифференциал ${\displaystyle i}$-ой координаты ${\displaystyle x^{i}}$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ${\displaystyle i}$ ), а ${\displaystyle \wedge }$ — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

---