Тензорная алгебра

---

Тензорной алгеброй линейного пространства ${\displaystyle V}$ (обозначается ${\displaystyle T(V)}$) называется алгебра тензоров любого ранга над ${\displaystyle V}$ с операцией тензорного умножения.

Также тензорной алгеброй называется соответствующий раздел линейной алгебры (то есть раздел, занимающийся тензорами, определёнными над одним линейным пространством, в отличие от тензорного анализа, занимающегося тензорными полями, заданными на касательном расслоении многообразия и дифференциальными соотношениями для этих полей).

Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого натурального числа k определим k-ую тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз:

Таким образом, T^kV состоит из всех тензоров над V ранга k. Будем считать, что T⁰V — это основное поле K (одномерное векторное пространство над собой).

который потом продолжается по линейности на всю T(V). Такое умножение превращает тензорную алгебру T(V) в градуированную алгебру.

Тензорная алгебра T(V) — это свободная алгебра векторного пространства V. Как и для любой другой свободной конструкции, функтор Т является левым сопряженным функтором забывающего функтора (который в данном случае отправляет К-алгебру в её векторное пространство). Тензорная алгебра удовлетворяет следующему универсальному свойству, которое формализует утверждение, что это наиболее общая алгебра, содержащая пространство V:

---