Тензорный анализ

---

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей ${\displaystyle D(M)}$ дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры ${\displaystyle D(M)}$, среди таковых — ковариантная производная^[⇨], производная Ли^[⇨], внешняя производная^[⇨], тензор кривизны невырожденного, дважды ковариантного тензора^[⇨].

Ковариантная производная вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ — линейное отображение ${\displaystyle \nabla _{X}}$ пространства векторных полей ${\displaystyle D^{1}(M)}$ многообразия ${\displaystyle M}$, зависящее от векторного поля ${\displaystyle X}$ и удовлетворяющее условиям:

где ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z\in D'(M)}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ — гладкие функции на ${\displaystyle M}$. Определяемые этим оператором связность ${\displaystyle \Gamma }$ и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры ${\displaystyle D(M)}$ в себя; при этом отображение ${\displaystyle \nabla X}$ есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со свёрткой.

---