Тензорное произведение

---

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ есть линейное пространство, обозначаемое ${\displaystyle A\otimes B}$. Для элементов ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ их тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ лежит в пространстве ${\displaystyle A\otimes B}$.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — конечномерные векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1\dots n}}$ — базис в ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1\dots m}}$ — базис в ${\displaystyle B}$. Тензорным произведением ${\displaystyle A\otimes B}$ пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ будем называть векторное пространство, порождённое элементами ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ произвольных векторов ${\displaystyle a\in A,~b\in B}$ можно определить, полагая операцию ${\displaystyle \otimes }$ билинейной:

---