Корень многочлена

---

над полем ${\displaystyle K}$ — это элемент ${\displaystyle c\in K}$ (либо элемент расширения поля ${\displaystyle K}$) такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень ${\displaystyle c}$ имеет кратность ${\displaystyle m}$, если рассматриваемый многочлен делится на ${\displaystyle (x-c)^{m}}$ и не делится на ${\displaystyle (x-c)^{m+1}.}$ Например, многочлен ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$ имеет единственный корень, равный ${\displaystyle 1}$ кратности ${\displaystyle 2}$. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Говорят, что многочлен имеет ${\displaystyle n}$ корней без учёта кратности, если каждый его корень учитывается при подсчёте один раз. Если же каждый корень учитывается количество раз, равное его кратности, то говорят, что подсчёт ведётся с учётом кратности.

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов в общем виде, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время, пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

---