Теорема Безу

---

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a)}$.

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Поделим с остатком многочлен ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle x-a}$:

где ${\displaystyle R(x)}$ — остаток. Так как ${\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}$, то ${\displaystyle R(x)}$ — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за ${\displaystyle r}$. Подставляя ${\displaystyle x=a}$, поскольку ${\displaystyle (a-a)Q(a)=0}$, имеем ${\displaystyle P(a)=R(x)=r}$.

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

---