Родился в 1769 году в семье Андрея Осиповича Закревского. Четырёх лет от роду был записан на военную службу в Кавказский мушкетерский полк; действительную службу начал в восемнадцатилетнем возрасте: 16 ноября 1787 года был произведён в поручики и в 1788 году переведён в корпус егерей и назначен старшим адъютантом в штаб генерал-поручика П. С. Потемкина. В 1788—1789 гг. принимал участие в Русско-турецкой войне, был при осаде Очакова и при взятии Аккермана и Бендер. 30 сентября 1788 года он был произведён в секунд-майоры и 15 декабря 1789 года — в премьер-майоры.
4 января 1790 года был произведён в чин подполковника и в 1790—1791 гг., состоя генеральс-адъютантом в штабе князя Г. А. Потемкина, «был им употребляем по службе во все места, где нужда требовалась»; 12 февраля 1792 года был назначен командиром Ревельского мушкетерского полка, а 7 ноября 1794 года произведён в полковники.
Во главе Ревельского полка участвовал в походах в Польшу, где за мужество, оказанное в борьбе с польскими мятежниками при Вильне, 15 сентября 1794 года был награждён орденом Святого Владимира 4-й степени.
5 октября 1797 года Дмитрий Андреевич Закревский был произведён в генерал-майоры и назначен комендантом в Ревель и шефом тамошнего гарнизонного полка, но уже через два дня, «за подачу прошения об отставке, отставлен от службы с чином полковника». После восшествие на престол Александра I, 13 июля 1801 года Закревскому был возвращён чин генерал-майора. Умер до 1835 года.
Дочь Елизавета (1815—1866) после смерти родителей жила в Москве, в доме двоюродного брата графа С. П. Потемкина. Была замужем (с 28 января 1835 года)[1] за Антоном Карловичем Данзасом (1805—1849)[2], затем вышла замуж за престарелого, но пережившего её, троюродного брата отца, графа А. И. Гудовича.