Индуцированная топология

---

Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология. Пусть также ${\displaystyle Y\subset X}$. Определим ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ — семейство подмножеств ${\displaystyle Y}$ следующим образом:

Несложно проверить, что ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ является топологией на ${\displaystyle Y}$. Эта топология называется индуцированной топологией ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Топологическое пространство ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ называется подпростра́нством ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$.

---