Интегральный логарифм

---

Для устранения сингулярности при ${\displaystyle x=1}$ иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке ${\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }$ (число Рамануджана — Солднера).

Из тождества, связывающего ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Ei} (\ln x)}$ следует ряд:

где ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем ${\displaystyle x/\ln {x}}$. При справедливости гипотезы Римана выполняется^[1]

Для не слишком больших ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\mathrm {Li} \,(x)}$, однако доказано, что при некотором достаточно большом ${\displaystyle x}$ неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10^19[2] и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108[3]}.

---