Стохастический интеграл

---

Стохастический интеграл — интеграл вида ${\displaystyle \int f(t)dy(t)}$, где ${\displaystyle {y(t),t\in T}}$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса^[1].

Введем гильбертово пространство ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, со скалярным произведением ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2}}}}$ и среднеквадратичной нормой ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2}}$. Здесь ${\displaystyle \mathbb {E} }$ - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.^[2]

Пусть ${\displaystyle T}$ - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]\subseteq T}$ задана стохастическая аддитивная функция ${\displaystyle \eta (\Delta )}$ с ортогональными значениями из гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, обладающая свойствами:

Пусть ${\displaystyle \varphi (t)}$ детерминированная функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle \int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty }$. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$, аппроксимирующих функцию ${\displaystyle \varphi (t)}$ так, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0}$,

---