Теория гомологий

---

Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству ${\displaystyle X}$ сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий ${\displaystyle H_{k}(X)}$, занумерованных натуральными числами ${\displaystyle k}$. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации^[1].

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию^[2], и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии ${\displaystyle H_{k}(X,A)}$ с коэффициентами в абелевой группе ${\displaystyle A}$, относительные гомологии ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ пары пространств ${\displaystyle X\supset Y}$ и когомологии ${\displaystyle H^{k}(X)}$, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения ${\displaystyle H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)}$, превращающего их в градуированную алгебру.

---