Коммутатор (алгебра)

---

Коммутатором операторов ${\displaystyle {\hat {A}}}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}}$ в алгебре, а также квантовой механике называется оператор ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора ${\displaystyle {\hat {F}}}$ физической величины ${\displaystyle f}$ на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам ${\displaystyle {\hat {F}}}$, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

---