Скобка Пуассона

---

Ско́бки Пуассо́на^[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на^[2] и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году^[3], затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Пусть ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$ — векторные поля на гладком многообразии ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle L_{v}}$ — оператор производной Ли по направлению векторного поля ${\displaystyle v}$. Коммутатор операторов ${\displaystyle L_{v}}$ и ${\displaystyle L_{u}}$ есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле ${\displaystyle [v,u]}$, для которого^{[4][Notes 1]}

Компоненты векторного поля ${\displaystyle [v,u]}$ в произвольной системе координат выражаются через компоненты ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$ по формуле

${\displaystyle [v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.}$

---