Компактный оператор

---

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — банаховы пространства. Линейный оператор ${\displaystyle T:X\to Y}$ называется компактным, если любое ограниченное подмножество в ${\displaystyle X}$ он переводит в предкомпактное подмножество в ${\displaystyle Y}$.

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор ${\displaystyle T:X\to Y}$ называется компактным, если его сужение на единичный шар в ${\displaystyle X}$ является непрерывным отображением относительно слабой топологии в ${\displaystyle X}$ и нормовой топологии в ${\displaystyle Y}$. Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов ${\displaystyle T:X\to Y}$ обозначается через ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$. Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$, действующих из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

---