Комплексный анализ

---

Ко́мпле́ксный ана́лиз^[1], тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (или ко́мпле́ксной переме́нной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Каждая комплексная функция ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$ определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции ${\displaystyle u,v}$ называются компонентами комплексной функции ${\displaystyle f(z)}$.

Далее всюду, где говорится об ограниченности комплексной функции, имеется в виду ограниченность её модуля (из чего следует ограниченность в обычном смысле обеих компонент).

Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если ${\displaystyle \lim _{z\to a+bi}f(z)=A+Bi}$, то ${\displaystyle \lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A}$ и ${\displaystyle \lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.}$ Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент^[2].

---