Континуум (теория множеств)

---

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел.^[1] Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным^[2] множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Изначально континуумами были названы более чем одноточечные непрерывные («континуальные») порядки, то есть порядки со связной естественной топологией. В терминах собственно порядка это означает, что любое его сечение является дедекиндовым.

Континуум как целое может как иметь, так и не иметь минимального и максимального элементов, то есть его концы могут быть как «открыты», так и «замкнуты».

Минимальным (то есть содержащимся в любом континууме) континуумом является вещественная прямая (как с открытыми, так и с замкнутыми концами).

Любой порядок может быть пополнен до континуума, из чего следует, что континуумы могут иметь неограниченно большие мощности. В кардинальном ряду они обозначаются ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{\xi }}$, где ${\displaystyle \xi }$ — ординальный номер континуума.

---