Кратный интеграл

---

Кратный интеграл — определённый интеграл, взятый от ${\displaystyle n>1}$ переменных; например:

В классическом анализе чаще всего используются двойной интеграл^[⇨] и тройной интеграл^[⇨] — интегралы от двух и трёх переменных соответственно.

В общем случае кратный интеграл определяется для функции ${\displaystyle f\colon B\to \mathbb {R} }$ на жорданово измеримом множестве ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{n}}$ с использованием понятия разбиения ${\displaystyle \sigma }$ — набора попарно непересекающихся подмножеств ${\displaystyle \sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}}$, которые в объединение дают всё ${\displaystyle B}$. Мелкостью ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ измерения называется наибольший диаметр множеств ${\displaystyle U_{i}\in \sigma }$:

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (${\displaystyle n}$-кратным) интегралом функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle B}$ называется число ${\displaystyle I}$ (если оно существует), такое, что при любой ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности числа ${\displaystyle I}$ всегда найдётся такое разбиение множества ${\displaystyle B}$ и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность:

---