Кривая второго порядка

---

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов ${\displaystyle a_{11},~a_{12},~a_{22}}$ отличен от нуля. Таким образом кривая второго порядка является частным случаем алгебраической кривой.

Впервые кривые второго порядка изучались Менехмом, учеником Евдокса^[1][2]. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы образованного ими угла, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической, — по гиперболе.

Иногда встречающееся выражение «инвариант кривой» является неточным. Если умножить уравнение на ненулевое число k, то получится уравнение, задающее ту же самую кривую. При этом значения инвариантов изменятся. ${\displaystyle \Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2}}$ и т.д.

Кривая второго порядка называется невырожденной, если ${\displaystyle \Delta \neq 0.}$ Могут возникать следующие варианты:

---