Криволинейный интеграл

---

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Пусть ${\displaystyle l}$ — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой ${\displaystyle l.}$ При этом не играет роли, что больше — b или a.^[1]

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой ${\displaystyle l\colon }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ или ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ).}$

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки ${\displaystyle \mathbf {r} (\xi _{k}),}$ разбиение ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}}$ и участки ${\displaystyle l_{k}}$ кривой ${\displaystyle l.}$ Рассмотрим две интегральные суммы:

---