Кубический сплайн

---

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Функция ${\displaystyle f(x)}$задана на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, разбитом на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b}$. Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и порядком его производной) называется функция ${\displaystyle S(x)}$, которая:

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

Теорема: Для любой функции ${\displaystyle f}$ и любого разбиения отрезка ${\displaystyle [a,b]}$на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$существует ровно один естественный сплайн ${\displaystyle S_{i}(x)}$, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

---