Куб (алгебра)

---

Кубом числа ${\displaystyle x}$ называется результат возведения числа в степень 3, то есть произведение трёх множителей, каждый из которых равен ${\displaystyle x.}$ Эта арифметическая операция называется «возведением в куб», её результат обозначается ${\displaystyle x^{3}}$:

Для возведения в куб обратной операцией является извлечение кубического корня. Геометрическое название третьей степени «куб» связано с тем, что античные математики рассматривали значения кубов как кубические числа, особый вид фигурных чисел (см. ниже), поскольку куб числа ${\displaystyle x}$ равен объёму куба с длиной ребра, равной ${\displaystyle x}$.

Сумма кубов первых ${\displaystyle n}$ положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии^[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

---