Лагранжева механика

Лагранжева механика — формулировка классической механики, введённая Луи Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Подход Лагранжа значительно упрощает множество физических задач. Например, при рассмотрении бусинки на обруче если вычислять её траекторию движения, используя второй закон Ньютона, то нужно записать набор уравнений, принимающих во внимание все силы, действующие на обруч со стороны бусинки в каждый момент времени. С использованием лагранжевой механики решение той же самой задачи становится проще. Нужно рассмотреть все возможные движения бусинки по обручу и математически найти то, которое минимизирует действие. Здесь меньше уравнений, так как не надо непосредственно вычислять влияние обруча на бусинку в каждый момент времени. В данной задаче уравнение всего одно, и его можно получить также из закона сохранения механической энергии.

Механическая система характеризуется обобщёнными координатами $q$ и обобщёнными скоростями ${\dot {q}}$ . Механической системе ставится в соответствие функция Лагранжа — лагранжиан, зависящая от обобщённых координат и скоростей, и, возможно, непосредственно от времени — $L(q,{\dot {q}},t)$ . Интеграл по времени от лагранжиана при заданной траектории называют действием $S$ :

Уравнения движения в лагранжевой механике основаны на принципе наименьшего (стационарного) действия (принцип Гамильтона) — система движется по траектории, которая соответствует минимальному действию (хотя бы в некоторой малой окрестности множества возможных траекторий). Под стационарностью подразумевается, что действие не меняется в первом порядке малости при бесконечно малом изменении траектории, с закреплёнными начальной $(q_{0},\;t_{0})$ и конечной $(q_{1},\;t_{1})$ точками. Принцип Гамильтона запишется в виде