Лемма Шура

---

Представление группы ${\displaystyle G}$ автоморфизмами некоторого векторного пространства ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \sigma :G\to GL(V)}$ называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно ${\displaystyle \sigma }$ подпространства отличного от 0 и самого ${\displaystyle V}$.

Лемма Шура: Пусть ${\displaystyle f}$ — линейное отображение векторных пространств ${\displaystyle f:V_{1}\to V_{2}}$ над некоторым полем ${\displaystyle K}$ такое, что существуют два неприводимых представления ${\displaystyle \sigma :G\to GL(V_{1})}$ и ${\displaystyle \tau :G\to GL(V_{2})}$, такие, что ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g}}$ для всех ${\displaystyle g}$. Тогда:

1) Если ${\displaystyle f}$ не является изоморфизмом, то ${\displaystyle f}$ — нулевое отображение.

2) Если ${\displaystyle V_{1}=V_{2}}$ конечномерны над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma =\tau }$, то ${\displaystyle f}$ является умножением на некоторый элемент поля ${\displaystyle f:x\to \lambda x}$.

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

---