Логистическое отображение

---

Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) — это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение — дискретный аналог непрерывного логистического уравнения Ферхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.

Иногда эта формулировка называется отображением Ферхюльста (или Ферхюльста-Пирла), а логистическим отображением называется другая, но эквивалентная по свойствам формула^[2]:

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение даёт отрицательные значения численности популяции. Этого недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

При изменении значения параметра ${\displaystyle r}$, в системе наблюдается следующее поведение ^[3].

Итог вышеперечисленного приведён на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра ${\displaystyle r}$, а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения ${\displaystyle x}$.

Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении ${\displaystyle r}$= 3.82 в одном из трёх ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искажённая и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

---