Метод перевала

---

где ${\displaystyle \Phi (z),\phi (z)}$ — некоторые мероморфные функции, ${\displaystyle \lambda }$ — некоторое большое число, а контур ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {C} }$ может быть бесконечным. Этот метод часто называется обобщением метода Лапласа.

В качестве контура ${\displaystyle \gamma }$ будем использовать тот, который представлен на рисунке справа. Сделаем замену ${\displaystyle p={\sqrt {z}}s}$ и получим:

Таким образом мы получили необходимый вид интеграла с функцией ${\displaystyle \phi (s)=s-{\frac {s^{3}}{3}}}$. Точки перевала, следовательно, равны: ${\displaystyle s=\pm 1}$.

Из условий Коши — Римана следует, что в точках перевала кривые наискорейшего роста и наискорейшего убывания пересекаются под прямым углом, причём нигде кроме точек перевала они больше пересекаться не могут. Из этих простых соображений можно однозначно их построить. Кривые наискорейшего убывания представлены на рисунке (стрелками обозначено направление роста).

Для того, чтобы воспользоваться методом Лапласа для нахождения асимптотики этого интеграла, необходимо линейными преобразованиями деформировать контур ${\displaystyle \gamma }$ по кривым наискорейшего убывания. Поскольку на этих кривых достигается глобальный максимум функции ${\displaystyle \phi (s)}$, то мы можем рассматривать только небольшую его окрестность. Следовательно, разложим в окрестности точки перевала функцию ${\displaystyle \phi (s)}$ в ряд Тейлора:

---